Родился 27 мая 1837 года в Петербурге. Сын члена Государственного Совета, обер-церемониймейстера, д. т. с. графа Ивана Илларионовича Воронцова (1790—1854 гг.).
В 1855 году поступил в Московский университет, но в следующем же году перешёл на военную службу, поступив вольноопределяющимся в лейб-гвардии Конный полк; 25 марта 1858 года произведён в корнеты.
Участник военных действий на Кавказе в 1859—1862 гг.
1860 г. — произведён в поручики за боевое отличие со старшинством с 17.09.1859 г.
С 21.09.1861 г. — штабс-ротмистр.
17.11.1862 г. — произведён в ротмистры за боевое отличие и пожалован во флигель-адъютанты.
В 1865 г. в чине полковника был направлен служить в Туркестан к генералу Д. И. Романовскому на должность начальника штаба. 2 октября 1866 г. командуя южной группой в составе трёх штурмовых колонн отличился при взятии бухарской крепости Ура-Тюбе, а 18 октября принял непосредственное участие в штурме Джизака. 28 октября 1866 г. произведён в генерал-майоры и назначен помощником военного губернатора Туркестанской области. За боевые отличия во время военных действий в Туркестане награждён орденом Св. Георгия 4-й степени (1867). После назначения К. П. фон Кауфмана Туркестанским генерал-губернатором Воронцов-Дашков покинул Среднюю Азию и вернулся в Петербург.
С 15 октября 1867 по 21 октября 1874 г. — командир Лейб-гвардии Гусарского полка, одновременно со 2 октября 1873 г. по 21 октября 1874 г. — командир 2-й бригады 2-й гвардейской кавалерийской дивизии. С 21 октября 1874 г. по 23 июля 1878 г. начальник штаба гвардейского корпуса (30 августа 1876 г. произведен в генерал-лейтенанты), одновременно входил в состав Комитета по устройству и образованию войск (27.10—1.12.1894) и в Совет Главного управления государственного коннозаводства (1.12.1874—12.10.1878).
Во время русско-турецкой войны 1877—78 гг. командовал кавалерией Рущукского отряда (во главе отряда стоял наследник престола, будущий император Александр III). С 12 октября 1878 г. по 8 апреля 1881 г. начальник 2-й гвардейской пехотной дивизии.
В марте 1881 г. Воронцов-Дашков организовал своеобразное тайное общество (которое должно было охранять личность императора и бороться с «крамолой» тайными средствами) под названием «Добровольная Охрана», потом переименовавшееся в «Священную Дружину», в которое вступило немало высокопоставленных лиц (Победоносцев, Игнатьев, Катков).
Один из ближайших друзей Александра III. После восшествия на престол Александра III 1 июня 1881 г. назначен начальником охраны его величества и главноуправляющим государственным коннозаводством, а 17 августа 1881 г. также и министром Императорского Двора и уделов, канцлером Российских Царских и Императорских орденов.
30.08.1890 г. — произведен в генералы от кавалерии.
1893 г. — назначен председателем Комитета для рассмотрения представлений к наградам.
27.10.-1.12.1894 г. — в составе Комитета по устройству и образованию войск.
Весной 1896 года на него, как на министра Императорского Двора, были возложены все распоряжения по приготовлению к торжествам коронации Императора Николая II.
6 мая 1897 г. освобожден от должности главноуправляющего и министра и назначен членом Государственного совета.
С восшествием на престол Императора Александра III он призван был на пост главного начальника охраны императора, а 1 июня 1881 г. назначен главноуправляющим государственным коннозаводством, которое тогда же было восстановлено в виде самостоятельного ведомства, и 27 апреля 1882 г. получило новое положение и штаты. К занятию этой должности граф был подготовлен своей предыдущей деятельностью в качестве вице-президента Императорского Царскосельского скакового общества и президента Императорского Спб. рысистого общества.
Во время управления этим ведомством им было открыто 8 новых заводских конюшен, все государственные заводы улучшены, приобретено много новых производителей, вывод русских лошадей за границу удвоился (в 1881 г. было выведено 23642, а в 1889 г. — свыше 43000); расширена деятельность рысистых и скаковых обществ, приняты меры к более правильной выдаче свидетельств рысистым лошадям, положено начало предохранительной прививке вакцины заразительных болезней домашним животным, по способу Пастера; при Беловежском и Хреновском заводах заведено сельское хозяйство, и большое количество земли было возделано и засеяно; при Хреновском заводе учреждена, по инициативе и на его личные средства школа наездников.
17 августа 1881 г. был назначен министром Императорского двора, уделов и канцлером российских Императорских и Царских орденов, с оставлением главноуправляющим государственным коннозаводством.
Во всех этих учреждениях произведены им существенные преобразования. В министерстве Императорского двора, до его назначения, существовали еще старинные штаты, по которым хозяйственную деятельность ведали коллегиальные учреждения, с высокопоставленными лицами во главе и массой мелких чиновников с ничтожнейшим содержанием. Исходя из той мысли, что в хозяйственных делах, требующих распорядительности и личной инициативы, коллегиальность неуместна, он представил к упразднению все коллегии, заменил их новыми упрощенными учреждениями и в то же время усилил контроль за деятельностью хозяйственных органов министерства. На подобных же началах преобразованы учреждения удельного ведомства, в котором произведены и другие существенные нововведения.
В 1885 году учреждено собственное страхование удельных имуществ путем отчисления страховых премий, прежде уплачивавшихся страховым обществам, в особый удельный страховой капитал, который превысил 400000 руб. Кроме того, предпринято превращение удельных капиталов в земельную собственность, вследствие чего в 17 губерниях, преимущественно средней полосы России, приобретено 262286 десятин на сумму 15407021 руб. Из государственных имуществ поступила в удел, по промену, Беловежская пуща с прилегающей к ней Свислочской лесной дачей, всего 114993 десятины. Столь значительное расширение земельной собственности вызвало увеличение числа местных удельных управлений, а именно: учреждение кириловского и беловежского удельных управлений и саратовской удельной конторы.
За тот же период времени особое развитие получило в удельных имениях виноградарство и виноделие. В 1889 г. удельное ведомство приобрело вместе с имениями «Массандра» и «Айданиль» все виноторговое дело под фирмой «Князя С. М. Воронцова». В удельных имениях в Крыму и на Кавказе занята под виноградниками площадь достигла 558 десятин; для заведования этими имениями, в непосредственном ведении департамента уделов, учреждены особые управления, из коих 4 на Кавказе и одно в Крыму. В 1887 г. в департамент уделов передано заведование мургабским государевым имением в Закаспийской области.
Основатель и вдохновитель Священной дружины (1881).
27 февраля 1905 г. назначен наместником Кавказа, главнокомандующим войсками Кавказского ВО и войсковым наказным атаманом Кавказских казачьих войск. Во время революционного движения на Кавказе (1905—1906) он принял ряд суровых мер для его подавления, но не удовлетворил ими ни черносотенную печать, ни правых членов в Государственной думе, которые обвиняли его в «послаблениях» инородцам и революционерам.
Так, когда в Тифлисе в ноябре 1905 г. начались столкновения между татарами (азербайджанцами) и армянами, то «в редакцию газеты „Возрождение“ были приглашены представители всех существующих в городе организаций, городского самоуправления, армян и мусульман. Всеми присутствовавшими одобрено было предложение социал-демократов (меньшевиков): 1) просить у наместника оружия для пролетариата, который в таком случае берёт на себя защиту населения и умиротворение враждующих сторон и 2) дать сознательных солдат для подавления беспорядков». Воронцов-Дашков предложение принял и к величайшему негодованию офицерства и администрации вооружил «туземцев»: 25 ноября РСДРП было выдано 500 ружей, распределявшихся по партийным спискам..
С началом Первой мировой войны, 30 августа 1914 г. назначен главнокомандующим Кавказской армией. Участия в разработке операций и руководстве войсками практически не принимал, передав командование армией генералу А. З. Мышлаевскому, после его смещения — генералу Н. Н. Юденичу. В ведении Воронцова-Дашкова сосредоточились вопросы тыла армии. Однако несмотря на это, 15 июля 1915 г. был награжден орденом Св. Георгия 3-й степени. 23 августа 1915 г. освобожден от командования армией и назначен на специально для него учрежденную должность — «состоять при Особе Его Величества».
Умер 15 января 1916 г. в Алупке. Похоронен в родовом имении, при Благовещенской церкви с. Новотомниково Шацкого уезда (ныне — Моршанского района Тамбовской области).
Женат с 1867 года на графине Е. А. Шуваловой, дочери Санкт-Петербургского губернского предводителя дворянства, д.с.с. А. П. Шувалова, внучке первого кавказского наместника кн. Михаила Семёновича Воронцова, приходившегося И. И. Воронцову-Дашкову троюродным дядей. Мать Елизаветы Андреевны, Софья Михайловна Воронцова (1825—1879) по существующей в пушкиноведении гипотезе — дочь Пушкина.
Дети:
Перу Воронцова-Дашкова принадлежат:
Имя Воронцова-Дашкова носит кубанская станица Воронцовская.