Родился в семье хоккейного тренера. В начале карьеры играл за «Химик» (Воскресенск), потом перешёл в московский ЦСКА. В 1990 году был выбран на драфте НХЛ в 3 раунде под общим 45 номером клубом «Детройт Ред Уингз». 30 июня 2001 года обменян в «Баффало Сэйбрз». 22 июня 2002 года обменян в «Атланту Трэшерз». 23 сентября 2010 подписал контракт на 1 год с московским ЦСКА.
В 1991 году стал бронзовым призёром на чемпионате мира. Незадолго до отъезда в НХЛ со своим одноклубником попал в тяжелую аварию. Товарищ Вячеслава погиб, а сам он долго лечился от травм, но сумел вернуться к полноценной жизни.
Самые большие успехи карьеры Вячеслава Козлова произошли во второй половине 1990-х, когда он дважды завоевал Кубок Стэнли, как в составе знаменитой русской пятёрки, так и после трагической аварии, сделавшей Владимира Константинова инвалидом.
Статистика международных матчей