Кроме российского Быков с 2003 года имеет также швейцарское гражданство. Его сын Андрей также играет в хоккей, выступает за швейцарский «Фрибур-Готтерон», и уже привлекался в молодёжные сборные Швейцарии.
Заслуженный мастер спорта СССР (1983), чемпион СССР 1983—1989. В чемпионатах СССР — 430 матчей, 195 голов.
По итогам сезона-1989/90 вошёл в символическую сборную чемпионата СССР. В опросе по определению лучшего хоккеиста страны в 1986 г. занял 5-е место, в 1989 — 2-е, в 1990 — 3-е.
В сборной СССР дебютировал 8 сентября 1982 года в Братиславе в матче на приз «Руде право» с Чехословакией (7:4), где забросил первую шайбу в главной команде.
По окончании карьеры игрока работал тренером во «Фрибуре-Готтероне» (Швейцария). С 28 апреля 2004 года — по 4 апреля 2009 года работал главным тренером ЦСКА (Москва).
С 11 августа 2006 года по 26 мая 2011 года Быков занимал должность главного тренера сборной России по хоккею. В 2007 году на чемпионате мира в России сборная России под его руководством завоевала бронзовые медали, а в 2008 году на чемпионате мира в Канаде впервые за 15 лет выиграла титул чемпионов мира, защитив его через год в Швейцарии. Однако в 2010 году на хоккейном олимпийском турнире в Ванкувере Россия потерпела в 1/4 финала унизительное поражение от Канады со счётом 3:7, а на чемпионате мира в Германии уступила звание чешской сборной в финале. Через год в Словакии Россия и вовсе осталась без медалей, и 26 мая 2011 года Быков был отправлен в отставку с поста главного тренера сборной России (такое решение принял исполком Федерации хоккея России), а причиной этого решения было названо «неудовлетворительное выступление сборной России на чемпионате мира 2011».
В 2004 году Быков был избран в Зал Славы отечественного хоккея. 14 мая 2009 года, оставаясь тренером национальной сборной, возглавил клуб КХЛ «Салават Юлаев» (Уфа) и в сезоне 2009-2010 выиграл бронзовые медали Чемпионата России,а уже в следующем сезоне 16 апреля 2011 год под его руководством «Салават» выиграл Кубок Гагарина, а уже 30 апреля истёк срок контракта, который так и не был продлён.