Вячеслав Осипов родился в музыкальной семье. Его отец Николай Александрович Осипов учился в Московской консерватории, но вынужден был бросить профессиональное пение, чтобы прокормить семью. Вячеславу тоже приходилось подрабатывать: во времена учебы он разгружал вагоны. «Еще до поступления в институт судьба преподнесла Вячеславу удивительный подарок, который начинающему певцу и во сне не мог присниться. Родители юного тенора хоть и помогали ему, но много денег давать не могли и Вячеслав подрабатывал на разгрузке вагонов. Там он познакомился с пожилым итальянцем, который заведовал складом при железнодорожной станции. Итальянец оказался бывшим солистом Римской оперы (тоже тенором). Каким-то неведомым путем его занесло в нашу страну и здесь он, в конце концов, оказался на складе. Как-то однажды Осипов и итальянец решили „спрыснуть“ дружбу. Под воздействием горячительного Вячеслав вдруг запел и… изумлению итальянца не было предела. С этого дня в течение четырех лет итальянец аккуратно давал уроки пения Вячеславу Осипову. Нисколько не сомневаюсь в том, что именно этот итальянский маэстро с изломанной судьбой сильно поспособствовал тому, что Вячеслав Осипов стал уникальным явлением нашей оперной сцены. Многие советские оперные певцы выезжали в Италию на стажировку, но мало кому так удавалось овладеть итальянским „бельканто“, как Осипову», — писал в юбилейной статье автор Александр Мильцов.
Через много лет певец вспоминал, как после случайной встречи на подмосковной даче со знаменитым баритоном Большого театра Алексеем Ивановым последний дал юному Вячеславу рекомендательное письмо к ректору Александру Свешникову, и его приняли на подготовительное отделение Московской консерватории. «Правда, через полгода выгнали как профнепригодного. Спасибо доброй душе — Рахили Львовне Блюман, директору Мерзляковского музыкального училища. Она меня, что называется, подобрала, и я продолжил учебу», — рассказывал певец.
Все же он окончил Государственный музыкальный педагогический институт им. Гнесиных (ныне Российская академия музыки им. Гнесиных) и в 1967 году начал работать в Московском академическом Музыкальном театре им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко. Много гастролировал. Около десяти лет, с 1971 по 1980 год, играл роль Хосе в берлинском оперном театре Комише опер (нем. Komische Oper Berlin).
С 1981 года занимался преподавательской деятельностью. Сначала преподавал в ГИТИСе, с 1985 года в ГМПИ им. Гнесиных. В 1996 году специально для Осипова в Музыкальном театре им. Станиславского и Немировича-Данченко поставили оперу Джузеппе Верди «Отелло».
Вячеслав Осипов продолжал выступать до последних дней своей жизни и умер во время репетиции 27 января 2009 года.