С 1949 активно участвовал в деятельности прокоммунистического Польского союза молодёжи (ПСМ). С 1952 был штатным инструктором харцерской организации и вступил в Польскую объединённую рабочую партию (ПОРП). В ноябре 1953 исключен из ПСМ и ПОРП за критику идеологической концепции ПСМ.
Окончил исторический факультет Варшавского университета (1957). Деятель независимого студенческого движения в 1960-х годах. За «Открытое письмо к партии» (1965; совместно с Каролем Модзелевским), критиковавшее бюрократизм и классовый характер режима в Польской Народной Республике с позиций демократического марксизма, был приговорен к 3 годам заключения (освобождён в 1967). В марте 1968 за организацию студенческих забастовок приговорён к трём с половиной годам заключения.
В сентябре 1976 стал одним из учредителей Комитета защиты рабочих (польск. Komitet Obrony Robotnik?w), в 1977 — Комитета общественной самообороны (польск. KSS KOR; польск. Komitet Samoobrony Spo?ecznej KOR), участник нелегальной печати и подпольной системы политического самообразования.
Один из авторов стратегии деятельности независимого профсоюза «Солидарность» (1980). С введением военного положения 13 декабря 1981 интернирован, в 1982 арестован по обвинению в попытке изменения государственного строя. Освобожден по амнистии (1984).
Участник «Круглого стола» (1989), приведшего к частично свободным выборам и победе на них «Солидарности». Депутат Сейма (1989—2001); министр труда и социальной политики (1989—1990); 1992—1993). На президентских выборах 1995 выдвигалась его кандидатура.
Под конец жизни Куронь критически оценивал результаты рыночных преобразований в Польше и Восточной Европе. В интервью 2001 года он заявил следующее: «Я хотел создать демократию, но не продумал, каким образом. И вот доказательство: я думал, что капитализм может реформировать сам себя, всё необходимое, например самоуправление рабочих… Вот доказательство моей слепоты… Единственное, о чём я сожалею — это о своём участии в правительстве. Моё правительство помогло людям принять капитализм». В последней своей речи в апреле 2004 он обратился к альтерглобалистам, протестовавшим против Всемирного экономического форума в Варшаве, со словами: «Это вам, мои дорогие друзья, предстоит совершить то, на что не способны нынешние политические элиты: создать новое понимание общественного сотрудничества, внедрить идеалы свободы, равенства и социальной справедливости».
Похоронен на воинском кладбище Повонзки. Его сын, Мацей — повар.
Награждён польским орденом Белого Орла (1998), французским орденом Почётного легиона, германским Крестом за заслуги, украинским орденом Ярослава Мудрого, литовским орденом Гедиминаса, международным орденом Улыбки.