Сын бывшего посланника при Северо-Американском союзе, тайного советника Андрея Яковлевича Дашкова (1775—1831) и жены его баронессы Евгении Иосифовны Прейссер (1783—1881).
Был выпущен в 1824 году из Пажеского корпуса с чином XII класса; с 1832 года камергер, в 1843 году награжден орд. Св. Владимира 3 степ.; с 14 апреля 1845 года действительный тайный советинк; в 1847 году награжден орд. Св. Станислава 1 степени и в 1850 году — орденом Св. Анны 1 степени.
Имел иностранные ордена: Турецкий Нишан-Ифтикар (с 1843 года), датский Данеброга 1 степ. (с 1848 года) и греческий Орден Спасителя 2 степени (с 1850 года).
Занимал должности Генерального консула в Валахии и Молдавии (1840-1847), директора Азиатского департамента МИД России (1848-1852), посланника в Швеции и Норвегии (1852-1872). В 1854 году произведен в тайные советники с оставлением в звании камергера.
В 1856 году награжден орденом Св. Владимира 2-й степ., орденом Белого Орла — в 1860 году , Св. Александра Невского — в 1865 году. В 1868 за отличие Дашков был награжден чином действительного тайного советника и шведским орденом Северной Звезды 1-й степ. Умер Дашков в Стокгольме.
Был женат на Павле Ивановне Бегичевой, дочери И.М.Бегичева, и оставил детей: