Ян Мёльбю начал свою футбольную карьеру в родном городе Кольдинг в клубе «Кольдинг ИФ» в 1981 году. В возрасте 19 лет Ян стал капитаном клуба «Кольдинг ИФ». В 1982 году Ян переехал в Нидерланды и стал игроком амстердамского «Аякса». В своём первом сезоне за «Аякс» Ян провёл 29 матчей и забил 6 мячей в чемпионате Нидерландов сезона 1982/1983, а также стал чемпионом Нидерландов и обладателем кубка Нидерландов. В сезоне 1983/1984 также регулярно выступал за «Аякс» проведя 28 матчей и забив 5 мячей.
Отличная игра молодого полузащитника не прошла бесследна, главный тренер английского «Ливерпуля» Джо Фэган заинтересовался игроком и сделал предложение о подписании контракта. 22 августа 1984 года Мёльбю подписал контракт с «Ливерпулем», сумма сделки между «Аяксом» и «Ливерпулем» составила ? 200 тыс. Ян дебютировал за команду спустя три дня после подписания контракта 25 августа в матче против «Норвич Сити», который завершился со счётом 3:3. Свой первый гол за «Ливерпуль» Ян забил 1 декабря 1984 года в матче против лондонского «Челси», завершившийся поражением «Ливерпуля» со счётом 3:1. В первом сезоне за «Ливерпуль» Мёльбю провёл 22 матча и забил 1 гол в первом английский дивизионе, а также один матч в кубке лиги. В 1985 году играющим тренером «Ливерпуля» стал шотландец Кенни Далглиш, именно благодаря Далглишу Мёльбю великолепно заиграл за «Ливерпуль». Свои первые трофеи с «Ливерпулем» Ян завоевал в 1986 году, став чемпионом первого дивизиона и обладателем кубка Англии, в финале которого был обыграл «Эвертон» со счётом 3:1, Ян отыграл весь матч, а всего в кубке Англии 1985/1986 Мёльбю провёл 8 матчей и забил 3 мяча. Перед сезоном 1986/1987 в Англии был проведён матч суперкубок Англии между «Ливерпулем» и «Эвертоном» завершившийся вничью 1:1, таким образом оба клуба стали победителем суперкубка, в 1989 и 1990 году Ян также становился обладателем суперкубка Англии.
После травмы полученной в матче с «Манчестер Юнайтедом» в начале сезона 1992/1993 карьера Яна пошла вниз, Мёлбю продолжал страдать избыточным весом. Для излечении травмы потребовалось три месяца, за три сезона существования Премьер Лиги Ян провёл не более 30 матчей. В начале сезона 1995/1996 главный тренер «Ливерпуля» Рой Эванс отправил Яна в аренду клубу «Барнсли», а затем и в «Норвич Сити», в которых Мёльбю практически не играл. Вернувшись в «Ливерпуль» Ян покинул клуб в феврале 1996 года и присоединился к «Суонси Сити», взяв на себя обязанности играющего тренера.
В национальной сборной Дании Ян дебютировал 15 июня 1982 году в возрасте 18 лет в матче против сборной Норвегии, в том матче также дебютировал другой молодой полузащитник Михаэль Лаудруп. Всего за сборную Мёльбю провёл 33 матча и забил 2 мяча, в составе сборной Ян участвовал на чемпионате Европы 1984 года и на чемпионате мира 1986 года.
Став играющим тренером в «Суонси Сити», в период с 1996 по 1997 год провёл 41 матч и забил 8 мячей. В 1997 году главным тренером «Суонси Сити» стал Мики Адамс, а Ян был уволен вместе со своим помощником. После этого Мёльбю решил завершить свою игровую карьеру и полностью посвятить себе тренерской работе. В 1999 году Мёльбю возглавил клуб «Киддерминстер Хэрриерс», который играл в одном из низшем английском дивизионе под названием Конференция. Ян в первый же сезон добился победы в Конференции сезона 1999/2000. В «Киддерминстер Хэрриерс» Мёльбю проработал до 2002 года, а затем Ян стал главным тренером клуба «Халл Сити», который выступал в одном из низшем дивизионе. Проработав год в «Халл Сити», вернулся в свой бывший клуб «Киддерминстер Хэрриерс», где проработал также один год.
Клубные:
Тренерские:
Завершив свою тренерскую карьеру, Мёльбю работал комментатором на телеканале «TV3+», а также на датском телеканале «TV2» и английском «BBC Radio 5 Live».
По опросу журнала «Four Four Two» занял 30 место из 100, за звание лучших иностранных игроков когда либо игравших в чемпионате Англии.
Является одним из основных игроков-ветеранов «Ливерпуля», которые принимают активное участие в матчах серии «Sky Sports».
В последние несколько лет принимал участие в нескольких турнирах в покер.