Янош Бёржей начал свою карьеру в молодёжном составе клуба «Керюлети» в 1933 году. С 1942 по 1945 год он выступал за клуб «Электромос». Затем недолго играл за «Коложвари». А с 1946 года начал выступать за МТК, где его впервые поставили на место защитника. С МТК Бёржей выиграл 2 золотые, 6 серебряных и одну бронзовую медаль чемпионата Венгрии, а в 1955 году Бёржей, вместе с клубом, отпраздновал победу в кубке Митропы.
За сборную Венгрии Бёржей играл с 1948 по 1956 год. В 1952 году он поехал вместе с командой на Олимпиаду, где венгры стали чемпионами, но сам Бёржей медаль получить не мог, так как не провёл ни одного матча на турнире.
После завершения карьеры игрока, Бёржей, начиная с 1957 года, работал в Венгерской ассоциации футбола. В период с 1968 по 1972 год работал генеральным секретарём ассоциации. с 1973 ПО 1981 год являлся директором по маркетингу ассоциации.