Родился 29 октября 1929 года в Москве. По словам самого профессора, имя «Ясен» ему дала мама в честь ясных глаз его отца. Закончил школу экстерном и в 1944 году в возрасте 14 лет поступил на английский факультет Московского государственного педагогического института иностранных языков им. М. Тореза. Окончил его в 1948 году. В 1951—1953 работал научным редактором в Издательстве иностранной литературы. С 1953 начал работать на недавно созданном факультете журналистики МГУ. С 1957 года — заведующий кафедрой зарубежной журналистики и литературы. В 1965—2007 — декан, а с 2007 — президент факультета.
Доктор филологических наук с 1967 года. Тема диссертации: «Американская литература XX века». Профессор с 1968 года. С 1995 года по 1999 год был председателем Комиссии по лицензированию радио- и телечастот. Автор более двухсот научных работ, в том числе 16 монографий.
Ясен Засурский имеет ряд наград: два ордена «Знак Почёта», орден Трудового Красного Знамени, орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени (1999), золотая медаль ЮНЕСКО имени Махатмы Ганди. Два раза становился лауреатом Ломоносовской премии. Также получил премию «Триумф».
Ясен Николаевич женат, имеет сына и двоих внуков, один из которых, Иван Засурский, возглавляет кафедру новых медиа и теории коммуникации на факультете журналистики МГУ.
Ясен Засурский был деканом факультета журналистики на протяжении 42 лет, в годы его пребывания в должности журфак МГУ стал одним из ведущих центров подготовки работников СМИ. Многие выпускники 1970-80-х годов создавали современную российскую журналистику и телевидение в годы перестройки.
В настоящее время профессор Засурский читает на факульте журналистики МГУ лекции по следующим курсам: «Введение в мировую журналистику», «История зарубежной журналистики», «Современные зарубежные СМИ», «История зарубежной литературы XX века: Великобритания и США», ведет ряд спецсеминаров и спецкурсов.
23 ноября 2007 года профессор Засурский по собственному желанию ушёл в отставку с поста декана и стал президентом факультета журналистики МГУ. Должности президента на факультете ранее не существовало. Президент факультета журналистики будет «осуществлять контроль качества подготовки специалистов и научных исследований, определять стратегию международных связей факультета, осуществлять консультации по принципиальным вопросам развития факультета, укреплять связи с медиаиндустрией, развивать творческие и этические принципы профессии», как это записано в проекте «Положения о президенте факультета». И. о. декана факультета журналистики, по решению Ученого совета МГУ от 6 ноября 2007 года стала профессор Елена Вартанова. 25 июня 2008 г. Ученым советом факультета журналистики она была избрана новым деканом.
Ясен Николаевич Засурский входит в редакционную коллегию журнала «Индекс/Досье на цензуру».
До 1989 года увлекался велосипедным спортом. С 2002 по 2007 возглавлял Жюри ежегодного Конкурса им. В. Г. Мезенцева «Юные журналисты России», а после — выступил председателем Попечительского совета конкурса.