Конно начинал карьеру в клубе «Консадоле Саппоро» в 2001 году. Во всех 3-х сезонах, проведённых Ясуюки за команду, он имел постоянную игровую практику — в первом 17 матчей, во втором 22, в третьем 26.
В 2003 году «Саппоро» вылетел из Джей-лиги. 20-летний Конно не захотел играть во втором дивизионе и перешёл в клуб «Токио». С первого же сезона он занял место в основе команды. Именно играя за «Токио» Ясуюки привлёк к себе внимание тренеров сборной Японии. В 2009 году Конно вместе с клубом стал обладателем Кубка Японии.
Играл за молодёжную сборную на чемпионате мира 2003 и олимпийскую сборную на Олимпийских играх 2004 года.
3 августа 2005 года дебютировал в основной сборной в матче с Китаем. Участвовал в Кубке Азии 2007 и чемпионате мира 2010.
«Токио»