Йозеф Бицан родился 25 сентября 1913 года на окраине Вены в семье выходцев из Чехии. Отец Йозефа, Франтишек Бицан, выступал за «Герту» Вена и сын начал свои первые шаги в футболе там же, выступая за подростковые команды. В 15 лет начинает выступать за фабричную команду «Шустек». Через год перешёл в команду фирмы «Фарбенлутц», где также совмещал футбол с работой на предприятии.
В 1930 году Бицана пригласили играть за юношескую команду «Рапида». В этом сезоне он выступал и за любителей «Рапида», и за резервный состав профессиональной команды.
3 сентября 1931 года Йозеф сыграл свой первый матч на высшем уровне (против венской «Аустрии», во главе со знаменитым Маттиасом Синделаром). Итог матча: 5:3 в пользу «Рапида», Бицан забил четыре мяча. В этом клубе он провёл четыре сезона. В 1934 году стал лучшим бомбардиром чемпионата, а в 1935 году выиграл свой первый титул чемпиона Австрии. Включая товарищеские матчи забил за первую команду «Рапида» 184 гола в 144 матчах.
Из-за бумажной волокиты и нежелания «Рапида» терять талантливого футболиста, проявить себя полностью в первом сезоне за новый клуб Бицан не сумел. Тем не менее отыграл вторую половину чемпионата и завоевал свою вторую чемпионскую награду. В следующем сезоне «Адмира» вновь лучшая команда Австрии, а Бицан внёс весомый вклад в этот успех. Всего за клуб (с товарищескими играми) забил 119 голов в 85 матчах.
Дебютировал за сборную Австрии 29 ноября 1933 года в матче со сборной Шотландии (2:2). Во втором матче за «вундертим» с Голландией (1:0), забил свой первый гол. В сборной он обычно играл на позиции правого инсайда. Всю свою австрийскую карьеру Бицан конкурировал за место центрального нападающего с Маттиасом Синделаром. На чемпионате мира 1934 года провёл четыре матча и забил в первой игре со сборной Франции (3:2) гол. Последний матч в футболке сборной Австрии против сборной Швейцарии провёл в ноябре 1936 года. Итог выступлений за «вундертим»: 19 матчей, 14 голов.
Лучшие футбольные годы Йозеф Бицан провел в пражской «Славии». В своем первом сезоне Бицан становится лучшим бомбардиром кубка Митропы и вносит неоценимую лепту в победу своего клуба на этом турнире (аналог нынешней Лиги Чемпионов). В чемпионате Чехословакии 1938 года он тоже лучший бомбардир (22 гола). В 1939 году на територию Чехословакии вторгается фашистская Германия. В годы оккупации создеётся чешско-моравская лига (в ней отсутствуют словацкие команды), «Славия» выигрывает четыре чемпионата из шести, а Бицан неизменно становится лучшим бомбардиром первенств.
В первых четерёх послевоенных чемпионатах Чехословакии «Славия» (вместе с пражской «Спартой») сохраняла лидирующие позиции. Выиграно два чемпионата из четерёх, а Бицан трижды лучший бомбардир первенств Чехословакии (в сезоне 1947/48 уступил один гол Ярославу Цейпу из «Спарты»).
В 1948 году в Чехословакии изменился политический строй. В стране происходили огромные преобразования. «Славия» была превращена в ведомственную команду МВД и переименована в «Динамо», а Бицану пришлось покинуть клуб.
За сборную Чехословакии Йозеф Бицан участвовал только в товарищеских матчах. Его дебют, осенью 1938 года, был потрясающим - 3 матча, 8 голов. После войны он провел ещё 11 матчей (4 забитых мяча).
Его новая команда играла во втором дивизионе и хотела повышения в классе. С Бицаном, который забил 76 голов в 22 матчах, это осуществилось за один год. В следующем сезоне он вновь лучший бомбардир чемпионата Чехословакии. В 1952 году, по семейным обстоятельствам, переходит во второлиговую команду из Градец-Кралове, где проводит один сезон.
После 1948 года пражское "Динамо" переживало не лучшие времена. По итогам сезона 1951 года команда понизилась в классе. Через год "Динамо" возвратилось в элиту чехословацкого футбола и нуждалось футболистах высокого класса. Бицан принял предложение родного клуба и играл там до 1955 года. В последнем сезоне исполнял обязанности играющего тренера. Завершил выступлении в связи с вышедшим положением, по которому тренер команды не имел права выходить на футбольное поле в качестве игрока.
В Чехословакии по одному сезону тренировал "Динамо" Прага, "Слован" Либерец, "Спартак" Брно, "Баник" Пршибрам, "Кладно" и "Спартак" Градец-Кралове. В 1969 году принял клуб четвёртой бельгийской лиги "Тонгерен" и вывел его во второй дивизион.
В чемпионатах Австрии, Чехословакии и чешско-моравской лиге Бицан забил 518 голов. Это второй показатель в мире после бразильца Пеле (541 забитый мяч) среди бомбардиров национальных лиг всех времен.. По средней результативности (1,52 забитых мяча за матч) имеет также второй результат в мире (у португальца Фернанду Пейротеу — 1,62 гола за матч).