В 1943 году окончил гимназию в родном городе. Два года провёл на принудительных работах на заводе компании «Мессершмитт». После войны закончил Карлов университет, сначала медицинский факультет, затем факультет литературы и искусства, где изучал английский язык и философию, защитил кандидатскую диссертацию по американской социальной философии в 1951 году. Отслужил в армии (1952—1954). Играл на саксофоне в любительском ансамбле «Red Music». Преподавал, переводил, работал в Государственном издательстве художественной литературы (англо-американская редакция). Первые сочинения, отмеченные сатирой и гротеском, вызвали резкие идеологические нарекания, были не допущены цензурой к публикации, издания конфисковались и т. д. Написал несколько киносценариев, два из них поставил Иржи Менцель. После вооружённого подавления Пражской весны Шкворецкий вместе с женой, актрисой Зденой Саливаровой, эмигрировал в США, работал в Корнелльском университете, университете Беркли.
Позже супруги переехали в Торонто (Канада). В 1971 году они основали «Издательство 68», где публиковали книги чешских и словацких диссидентов и эмигрантов (М. Кундеры, В. Гавела, Л. Вацулика, П. Когоута, И. Блатны, И. Дивиша и других). Шкворецкий преподавал в Торонтском университете, в 1990 году вышел в отставку. В 1973—1990 годах вёл регулярные передачи о литературе на радиостанции «Голос Америки».
Автор нескольких книг по истории джаза. Переводил с английского (Г. Джеймса, Э. Хемингуэя, У. Фолкнера, У. Стайрона, Р. Брэдбери, Д. Хэммета, Р. Чандлера и других). Книги Шкворецкого переведены на многие языки мира, на английском языке издано собрание его сочинений в 19 томах.
Скончался от рака 3 января 2012 года в Торонто.
Почетный доктор ряда университетов Европы, Канады и США. Номинировался на Нобелевскую премию.