Заур Хапов начинал заниматься футболом в спортивной школе Нальчика. Сначала играл в полузащите, а когда в школе не оказалось вратаря, встал в ворота. У юноши получалось играть вратарем очень хорошо, тренер решил оставить его в воротах. Осваивать вратарское мастерство ему помогал Владимир Беляев, экс-дублер Льва Яшина.
В 1982 был призван в армию, которую проходил, играя за СКА (Ростов-на-Дону). По окончании службы вернулся в Нальчик и стал выступать за команду «Спартак», игравшую в то время во второй лиге чемпионата СССР.
По приглашению Константина Ивановича Бескова в 1987 году перешёл в московский «Спартак», однако из-за сильной конкуренции в основе сыграл лишь три матча в кубках Федерации. В следующем сезоне был отдан на полгода в аренду в ярославский «Шинник», игравший в первой лиге. По окончании срока аренды в связи с отъездом за границу основного вратаря спартаковцев Рината Дасаева мог стать претендентом на «первый пост», но по просьбе тренера тбилисского «Динамо» Давида Кипиани был продан в грузинский клуб. После выхода грузинских команд в 1990 году из числа участников союзного первенства, в составе тбилисцев стал чемпионом Грузии.
В следующем сезоне состоялось возвращение Хапова в чемпионат СССР в составе владикавказского клуба «Спартак-Алания», за который он отстоял полностью дебютный для владикавказцев сезон в высшей лиге. Всего в высшей лиге чемпионатов СССР Заур Хапов сыграл 36 матчей, в которых пропустил 47 мячей.
В «Спартаке-Алании» Хапов числился главным вратарём. За клуб в чемпионатах он провёл свыше 200 матчей. В 1995 году стал обладателем золотых медалей чемпионата России, дважды становился серебряным призёром (в 1992 и 1996 годах). В 2000 году перешёл в московский «Локомотив», в котором присутствовал в заявке клуба 6 сезонов, однако за основной состав провёл всего 5 игр, выполняя роль дублёров Руслана Нигматуллина и Сергея Овчинникова. По окончании карьеры стал работать в «Локомотиве» тренером вратарей, а в феврале 2007 года перешёл на такую же должность в пермский «Амкар».
В декабре 2007 года Хапов вернулся в тренерский штаб московского «Локомотива», который возглавил Рашид Рахимов, руководивший в 2007 году командой «Амкара».
Всего в высшей лиге чемпионата России сыграл 204 матча в 65 из которых не пропускал голов (по этому показателю он занимает 11-е место).
Отец работал в Приэльбрусье директором «Интуриста». Женат, дочь Лаура и сын Артур.