Завен Бадоян родился в Ереване. Является воспитанником местной школы ФИМА (в русском переводе СКИФ). Но прежде попробовал себя в нескольких видах спорта и в итоге принял решение продолжить карьеру футболиста. В 6 лет пошёл в футбольную школу ФИМА, первым тренером стал Левон Барсегян. С 16 лет профессионально выступает в чемпионате Армении. В 2006 году пописал контракт с ереванской «Киликией», за которую выступал в течение двух сезонов. В 2008 году проходя службу в армии выступал за «Гандзасар», с которым завоевал бронзовые медали первенства и первые медали в своей карьере. В январе 2010 года прошёл просмотр в дилижанском «Импульсе», с которым впоследствии заключил контракт. Бадоян стал в команде основным игроком, проведя 27 матчей из 28 возможных, таких же показателей достигли Артур Петросян и Аветик Киракосян (капитан команды). В декабре 2011 заключил четырёхлетний контракт с борисовским БАТЭ.
Данные на 5 августа 2011
В конце апреля 2010 года был вызван в состав молодёжной сборной Армении, а уже 20 мая того же года дебютировал в составе молодёжки против молодёжной сборной Эстонии.
В 2011 году Бадоян стал попадать в поле зрения тренерского штаба национальной сборной. Причиной стали прогрессирование в составе «Импульса». Перед игрой в Санкт-Петербурге главный тренер Вардан Минасян включил Бадояна в список на предстоящий матч с российской сборной. Однако Бадояну не сужденно было в этот игровой день выйти на поле. Дебют состоялся 10 августа в игре против сборной Литвы. Дебют был омрачён крупным поражением — 0:3.
Любимый чемпионат — испанская Примера, команда — «Барселона», футболист — аргентинец Лионель Месси, а тренер — Хосеп Гвардиола.