Отец, Иосиф Михайлович родился в 1888 году в деревне Рогилевцы Василишской волости Лидского уезда Виленской губернии в польской крестьянской семье. После смерти своего отца, он вместе с матерью Агатой (Агафьей Мартыновной) Заяц (в девичестве Кухаревич) переехал в Санкт-Петербург, где закончил городское училище, а затем работал электриком на заводе инженера Греймана. После революции записался добровольцем в Красную Армию, в 1919 году вступил в ВКП(б), был членом Ленсовета 14-го созыва, возглавлял исполком Центрального района Ленинграда, а затем Ленжилуправление.
В 1924 году Иосиф Зайцев женился вторым браком на Гитель Берковне Харабковской, родившейся в 1893 году в Невеле в семье еврейского купца первой гильдии, преодолевшего черту оседлости. Окончив гимназию, она перебралась в Санкт-Петербург, училась в 1913—1915 годах на курсах в Женском мединституте, затем работала зубным врачом, а после революции преподавала в стоматологическом институте.
В 1936 году Иосифа Михайловича отстранили от работы, 21 июля 1937 года арестовали, а 17 февраля 1938 года выездной сессией Военной коллегии Верховного суда СССР он был приговорён по статье 58 УК РСФСР к высшей мере и расстрелян. Гитель Берковна была арестована в марте 1938 года и как член семьи врага народа приговорена к 8 годам лишения свободы. Освободилась досрочно в 1944 году, до реабилитации в 1956 году она проживала в Толмачево (за 101 километром от Ленинграда), а затем с семьёй сына до самой смерти в 1988 году.
Александр Иосифович начал читать в четырехлетнем возрасте, со второго класса учился в 1-ой образцовой школе Центрального района. После ареста родителей, жил с бабушкой Агатой до начала войны. Во время первой блокадной зимы она умерла, Александр очень тяжело болел, и его к себе взяла сестра матери Мария Борисовна Зильберборт. В конце августа 1942 года они были эвакуированы в Петропавловск, затем к дяде по материнской линии в Уфу. Закончив в 1944 году школу, поступил на исторический факультет Уфимского педагогического института. Летом 1945 года вернулся в Ленинград и поступил на второй, а, вскоре, досрочно сдав экзамены, перевёлся на третий курс кафедры классической филологии филологического факультета Ленинградского университета. По воспоминаниям работавшей там в те годы О. М. Фрейденберг:
21 января 1947 года его арестовали по обвинению в антисоветской агитации, а в ноябре признали невменяемым и назначили ему принудительное лечение в Казанской тюремно-психиатрической больнице. Об этом периоде времени есть лишь (по большей части фантастические) воспоминания содержавшегося с ним Владимира Гусарова (сына «сатрапа Белоруссии»). В июне 1954 г. А. И. Зайцев освободился в связи с прекращением дела Ленинградским городским судом, но лишь 30 сентября 1991 года Судебная коллегия по уголовным делам Верховного суда РФ полностью его реабилитирует. Восстановившись в ЛГУ на IV курсе, он под руководством Я. М. Боровского в 1956 году с отличием защитил дипломную работу по теме «Фрагмент из сатировой драмы ????????? ???????? (РОху XX, 2245)» и был зачислен на очную аспирантуру. В 1959 году стал ассистентом на кафедре классической филологии, где работал до конца жизни. В этом же году вышла первая научная публикация Александра Иосифовича. В 1964 году прочитал доклад на VII международной конференции EIPHNH в Ленинграде, связанный с «Ночным советом» у Платона (Законы XII 961 а — 969 d).
В 1965 году Александр Иосифович Зайцев женился на Ольге Ивановне Кореневой, с которой прожил до самой смерти. У них родились дочь Варвара и сыновья Николай и Иван.
В 1969 году защитил кандидатскую диссертацию, посвященную реконструкции «Гимна Диоскурам» и в этом же году начал читать лекционный курс «Происхождение мифа об Эдипе». В 1974 году получил звание доцента, в 1987 году — защитил диссертацию на звание доктора исторических наук, а в 1991 году стал профессором кафедры классической филологии.
Последние годы жизни Александр Иосифович долго и тяжело болел, но до последних дней работал с аспирантами и в студенческом научном обществе при кафедре классической филологии. Похоронен на католической дорожке Лютеранского Волковского кладбища.
В сферу научных интересов Александра Иосифовича входили античная религия и мифология, философия и история науки, индоевропеистика и микенология, античная история и история античной культуры, история древнегреческого языка, топонимика и акцентология, история греческой литературы в целом и отдельных ее жанров, греческая и латинская метрика, фольклор и политические учения в древнем мире, теория и методика научного исследования, интерпретация нарративных текстов, надписей и папирусов, преподавание древних языков и классических дисциплин в высшей и средней школе.
В своей работе «Формирование древнегреческого гексаметра» Александр Иосифович критически проанализировал существующие теории возникновения данной стихотворной метрики, в частности, предположение Г. Надя о том, что его прототипом послужили индоевропейские формулы. Последовательно опровергаются попытки реконструкции праиндоевропейского стихосложения А. Мейе путём сравнения ведийских и эолийских размеров. Гипотеза об изосиллабизме праиндоевропейского стиха, то есть о том, что каждая метрическая единица заключала в себе постоянное число слогов, также подвергается сомнению, как нехарактерная для народной поэзии и, тем более, для дописьменных народов. Отдельно рассматривается работы Р. О. Якобсона, в которых он для реконструкции привлекает славянский материал, в частности, стих русской былины.
Выдвинув свою теорию происхождения гекзаметра, профессор Зайцев также высказал ряд доводов в пользу локализации прародины индоевропейцев в степях Северного Причерноморья.
А. И. Зайцев был одним из редакторов фундаментального издания текстов Демокрита, подготовленного С. Я. Лурье, после себя оставил переводы текстов и комментарии к ним ряда греческих авторов (Филохора, Плутарха, Исократа, Демосфена, Михаила Пселла), редактировал переводы произведений Дионисия Ареопагита, Климента Александрийского. Совместно с М. Н. Ботвинником подготовил примечания к переводам древнегреческих поэтов, осуществленных В. В. Вересаевым.
Его главной работой была опубликованная в 1985 году (переведённая на немецкий в 1993 году и переизданная в 2001 году) книга «Культурный переворот в Древней Греции VII—V вв. до н. э.». Эта книга получила Университетскую премию, а в 1987 году защитил по ней докторскую диссертацию. В этой работе А. И. Зайцев выделял следующие «культурные взрывы»:
Рассматривая середину I тысячелетия до н. э., Александр Иосифович предположил, что произошедшие изменения были вызваны единственным технологическим фактором — активным распространением железа. Это повлекло за собой экономический подъем, социальную дестабилизацию и разрушение традиционных форм жизни. В Персии, Китае и Индии эти события привели к созданию новых религиозно-философских моделей, и лишь в Древней Греции зародилась наука и светское искусство. Среди наиболее важных особенностей греческого общества, комбинация которых способствовала проявлению необходимых для этого личностных качеств, А. И. Зайцев выделил:
Книга имела резонанс в научном сообществе, вызвав к жизни целый ряд рецензий как в СССР, так и за рубежом.
Доктор философских наук Ф. Х. Кессиди не подвергая сомнению предложенную профессором Зайцевым «положительную корреляцию диффузии железа и возникновения системы полисов», указывает на неизвестность механизма этого явления. Кроме того он полемизирует с Александром Иосифовичем относительно полного исключения особенностей национального характера греков из ряда факторов, приведших к «Культурному перевороту», а также слишком большого внимания, уделяемого им факторам агонистики и жажды общественного признания. Несмотря на высказанные замечания, Феохарий Харлампиевич отдает должное смелости и большой эрудиции автора, первым из антиковедов, решившегося сделать данное явление предметом специального анализа.
Доктор исторических наук Ю. В. Андреев обращает внимание на то, что взятая за основу А. И. Зайцевым для объяснения «греческого чуда» многофакторная схема фактически отбрасывается при описании агонов. При этом само понятие «культурного переворота» сужается до зарождения в лоне агональной традиции нового научного типа мышления, а также возникновения художественной литературы. С точки зрения рецензента в книге отсутствует качественная, типологическая характеристика греческой культуры и не идентифицированы признаки, отличающие её от других древних и средневековых культур. Именно это упущение по мнению Юрия Викторовича мешает автору понять несостоятельность агональной теории в качестве единственно возможного объяснения «греческого чуда».
Кроме того, по мнению рецензента, профессор Зайцев не дал сколь-нибудь подробного объяснения механизма возникновения агонального духа как черты национального характера греков. Отсылка к компетитивности раннегреческого общества не может претендовать на полноценное объяснение, так как средневековые схоласты были не менее честолюбивы и любознательны чем греческие математики и астрономы. В дальнейшем Ю. В. Андреев в своей книге «Цена свободы и гармонии» предлагает исследовать «греческое чудо» с позиций этнической психологии, в противовес социально-экономическому подходу А. И. Зайцева. Он приходит к выводу, что решающим фактором являлась среда обитания древних греков, во-многом сформировавшая их особенности национального характера.
Александр Иосифович читал лекционные курсы и проводил семинарские занятия по исторической грамматике древнегреческого языка, истории Греции в архаическую эпоху, античным теориям общественного развития, о происхождении политической теории в Древней Греции, греческой религии и мифологии, введение в классическую филологию, греческую и латинскую метрику, миф об Эдипе, латинскую стилистику, историю античной литературы, специальные курсы по самым разнообразным темам антиковедения на филологическом, историческом и философском факультетах. Под его руководством защитили кандидатские диссертации 5 аспирантов, включая будущего заведующего кафедрой В. С. Дурова.
Начиная с 1963 года А. И. Зайцев по субботам проводил со всеми желающими комментированное чтение греческих текстов, впоследствии получившее название «Платоновских чтений». В разные промежутки времени в них участвовали И. П. Медведев, В. А. Гуторов, А. К. Гаврилов и другие. До 1982 года семинары проходили на филфаке, затем, по просьбе руководства, их пришлось перенести домой к участникам — сначала к самому Александру Иосифовичу, затем к С. Р. Тохтасьеву. В 1986 году чтения «Законов» и «Послезакония» Платона завершились, и началась работа над «Политикой» Аристотеля.
Профессор Зайцев был последовательным сторонником возрождения дореволюционной традиции преподавания классических языков в средней школе. Он был одним из основателей, а также председателем попечительского совета Санкт-Петербургской классической гимназии № 610, и до последних дней жизни принимал в её функционировании живейшее участие.
Александр Иосифович придерживался антикоммунистических взглядов, и был сторонником демократического развития России. Был знаком с членами ВСХСОН. Осенью 1993 года в конфликте между президентом и Верховным Советом России, выступил на страницах еженедельника «Аргументы и факты» в поддержку действий Б. Н. Ельцина.
По свидетельству своих коллег и учеников был практикующим католиком, крестившись во взрослом возрасте после выхода из заключения.
Начиная с первой годовщины смерти Александра Иосифовича, раз в 2 года на кафедре классической филологии СПбГУ проходят научные чтения памяти профессора А. И. Зайцева. На них с докладами выступают как именитые специалисты (В. С. Дуров, Э. Д. Фролов, Н. Н. Казанский и др.) так и молодые учёные.