Воспитанник ДЮСШ города Зугдиди. В начале своей карьеры выступал за грузинские клубы «Одиши» Зугдиди, «Шевардени 1906» Тбилиси и ФК «Самтредиа».
В 1996 году 20-летний грузинский футболист был приглашён в московский «Локомотив» главным тренером клуба Юрием Сёминым. В составе «Локомотива» Джанашия четырежды становился призёром чемпионата России, четырежды обладателем Кубка России, дважды участвовал в полуфиналах Кубка обладателей кубков УЕФА.
За время самого успешного для себя периода карьеры сыграл за клуб в 194 матчах, забил 51 мяч:
Последний гол Джанашия за «Локомотив» стал одним из самых важных в истории клуба. 20 июня 2001 года в финале Кубка России 2000/2001 «Локомотив» встречался с клубом «Анжи». На последней минуте матча при проигрышном счёте 0:1 нападающий московского клуба забил ответный мяч, позволивший перевести игру в дополнительное время, в итоге в серии послематчевых пенальти сильнее оказался «Локомотив» (4:3). В 2001 году по собственному желанию покинул команду.
После ухода из московского «Локомотива», в 2002 году игрок выступал в Грузии за тбилисский «Локомотив» на правах аренды, в 2003 за «Коджаэлиспор» из турецкого города Измита, а завершил свою игровую карьеру в 2004 году выступлениями за «Балтику» (Калининград) в Первом дивизионе России. Завершить карьеру форвард был вынужден из-за травм обоих голеностопов.
С 2007 по 2008 год Джанашия работал тренером в ДЮСШ «Локомотив-Перово» (Перово), занимаясь с детьми 1994 года рождения. С 2011 года занимает пост тренера в школе московского «Локомотива».
Командные
Личные
Джанашия женат. Имеет двоих сыновей — Зазу и Луку.