Босежур начал свою профессиональную карьеру в клубе «Универсидад Католика» в 2001 году, и с тех пор поиграл в разных командах.
В 2004 году он подписал контракт со швейцарским «Серветтом», за который выступал один год, после чего, в 2005 году перешёл в бразильский «Гремио» и потом, в 2006 году, в бельгийский «Гент». В 2007 году он вернулся в Чили, проведя один год в клубе «Кобрелоа», позже в 2008 году перешёл в «О’Хиггинс». 1 декабря 2008 года подписал трёхлетний контракт с мексиканским клубом «Америка».
31 августа 2010 года подписал трёхлетний контракт с английским «Бирмингемом». 25 января 2012 года Босежур перешёл в клуб Премьер-лиги «Уиган Атлетик», с которым подписал контракт на два с половиной года.
16 июня 2010 года он забил первый гол сборной Чили на ЧМ-2010 на 37 минуте в победном матче против Гондураса. Свой гол посвятил жене. Был признан лучшим игроком матча.
Он — сын гаитянского отца и чилийской матери арауканского происхождения.