Алессандро женат. Супруга Даниэла родила ему сына, названного родителями Николо.
Дзанарди начал занимался картингом с 13 лет, позднее выступал в итальянской Формуле-3. В 1991 году дебютировал в международном чемпионате Формулы-3000. В дебютном сезоне Алессандро выиграл две гонки и стал вице-чемпионом по итогам чемпионата-1991.
В конце 1991 года Занарди провел две гонки за команду Jordan в Формуле-1, став одним из многочисленных (Михаэль Шумахер, Роберто Морено) сменщиков арестованного за драку Бертрана Гашо. Итальянец не набрал ни одного очка, оба раза финишировав девятым. На следующий год Занарди был тест-пилотом Minardi, и принял участие в трех этапах за неё (вместо травмированного Кристиана Фиттипальди), но в двух из них даже не прошёл квалификацию, а в третьей — сошёл.
На сезон-1993 Алессандро подписал контракт с некогда сильной командой Lotus. Во второй гонке за британский коллектив, итальянец завоевал свое первое (и, как потом оказалось, единственное очко в чемпионате мира), придя шестым в гонке в Бразилии. На Гран-при Бельгии гонщик попал в тяжелую аварию на тренировке, и пропустил окончание сезона. В 1994 году Занарди заменил в составе Lotus получившего тяжёлые травмы Педро Лами (ранее дебютировавшего в Формуле-1 после аварии самого Дзанарди), но выступил неудачно, закончив сезон без единого очка. Lotus окончательно обанкротился зимой 1995. Дзанарди не нашёл себе нового места и покинул чемпионат.
В 1996 году итальянец, благодаря посредничеству конструктора Мориса Нанна, получил место в успешной команде Chip Ganassi Racing серии CART. Дебют Алекса оказался успешным: он стартовал с поула уже во второй гонке и выиграл три гран-при в дебютном сезоне. Дзанарди закончил 1996 год с бронзой чемпионата, поделив по количеству очков второе место с Майклом Андретти и уступив только чемпиону, своему напарнику Джимми Вассеру. Алекс также получил звание «Новичок года».
Следующие два года Занарди доминировал на трассах, уверенно выиграв чемпионаты 1997 и 1998 годов и одержав двенадцать побед. Оба этих сезона он по-прежнему провел в составе конюшни Чипа Ганасси.
На следующий год чемпиону поступило предложение от Williams. Чип Ганасси и Фрэнк Уильямс совершили своеобразный обмен: Уильямс отпустил в Америку своего тест-пилота Хуана Пабло Монтойю и получил взамен право подписать контракт с Дзанарди. Однако итальянец не оправдал надежд: на трассах Формулы-1 он явно уступал своему партнеру — Ральфу Шумахеру, и опять не набрал ни единого очка. Вдобавок Williams 1999 года, оснащенный двигателями Supertec, был недостаточно быстр и очень ненадежен. Разочарованный сэр Фрэнк разорвал контракт с итальянцем уже после первого года сотрудничества и выплатил ему неустойку. Поскольку Монтойя, ставший к тому времени чемпионом CART, по условиям контракта с Ганасси не мог сразу вернуться в «Формулу», место партнера Ральфа Шумахера в сезоне-2000 занял англичанин Дженсон Баттон.
Дзанарди вернулся на другую сторону Атлантики и подписал контракт с Мо Нанном, к тому времени оставившим пост технического директора Ganassi и основавшим собственную команду. Болиды Mo Nunn Racing, произведенные компанией Reynard, не отличались большой скоростью: в тот год Мо потерял поставщика двигателей в лице Mercedes и вынужден был использовать более слабые Honda.
15 сентября 2001 года в гонке на трассе Лаузитцринг в Германии, Дзанарди попал в тяжелейшую аварию. Выехав на трассу после пит-стопа, Алекс на непрогретой резине слишком рано ускорился и потерял управление болида. Его машину развернуло поперек трассы. В следующую секунду в него врезался болид канадца Алекса Тальяни. Reynard итальянца разрубило пополам. Врачи вынуждены были позднее ампутировать обе ноги до колена. Уже к концу года, правда, Алекс смог ходить, используя специальные протезы.
В 2003 году перед гонкой CART на Лаузитцринге Дзанарди, на специально переоборудованном болиде, проехал оставшиеся с 2001-го года тринадцать кругов своей гонки. Зрители стоя аплодировали мужеству итальянца, ведь показанное им время на круге позволило бы занять ему шестое место на стартовой решетке.
Пройдя программу реабилитации, Занарди вернулся к гонкам, используя специально оснащенные ручным управлением автомобили.
Итальянец дебютировал в Чемпионате Европы по автогонкам в классе туринг (ETCC) в 2003 году, а с 2004 начал там постоянные выступления как боевой пилот. В 2005 Алессандро перешёл в WTCC.
В 2006 году Дзанарди провел показательные тесты за рулем болида BMW F1.
В настоящее время Алессандро готовится к соревнованиям по гонкам на ручных велосипедах на паралимпиаде в Лондоне 2012 где будет представлять Италию. В ноябре 2011 года одержал победу в престижном Нью-Йоркском марафоне в классе ручных велосипедов. В марте 2012 Дзанарди был подтверждён в качестве участника Паралимпийских игр-2012.
На итальянском телеканале Rai 3 () ведет актуальное ток-шоу "E Se Domani". Ток-шоу посвящено науке и технологиям будущего. Темы рассматриваются с помощью фильмов специально изготовленных или взятых из самых привлекательных и интересных международных документальных фильмов.
Жирным выделен старт с поула, курсивом — быстрейший круг в гонке.