Сын рязанского купца, он с детства чувствовал влечение к искусству и научился рисовать почти без наставников. В 1826 году подал образец своей работы великому князю Михаилу Павловичу, который принял молодого человека под свое покровительство и способствовал к его поступлению в ученики Санкт-Петербургской академии художеств на казённый счет.
Его ближайшим руководителем в Академии был профессор А. Варнек.
Получив в течение академического курса две серебряные медали, Живаго окончил своё образование со званием художника XIV класса и вскоре отправился, за собственный счет, в Италию, где написал копии с картин: «Видение Иезекииля» Рафаэля, «Мадонна-делла-Пьета» с Г. Рени, «День» Корреджо и собственные композиции: «Ева», «Бегство в Египет», «Неверие апостола Фомы» и др.
За эти работы, по его возвращении в Санкт-Петербург, в 1839, он был признан академиком Императорской Академии Художеств в Санкт-Петербурге. В 1842 получил звание профессора за образ «Крещение Господне». С 1848 по 1850 служил при петербургской таможне экспертом по распознаванию привозимых из-за границы художественных произведений от промышленных. В 1860 переехал жить в Москву, где и трудился до конца своей жизни. Из картин Живаго, помимо упомянутых, заслуживают внимания образа в Исаакиевском соборе («Тайная вечеря» и «Моление о чаше», над царскими вратами, и десять изображений ветхозаветных патриархов и пророков в 3-м ярусе главного иконостаса) и в некоторых московских и рязанских церквях. Живаго занимался также и портретной живописью.