Златко Вуйович начал карьеру в футбольном клубе «Хайдук», в котором играл 10 лет. В составе «Хайдука» становился чемпионом Югославии, обладателем Кубка Югославии и лучшим бомбардиром чемпионата Югославии.
Позже играл за различные французские клубы, наибольших успехов достиг в первом из них, «Бордо». В сезоне 1986/87 клуб выиграл как чемпионат, так и Кубок Франции.
Вуйович дебютировал в сборной Югославии 1 апреля 1979 года в матче отборочного турнира чемпионата Европы 1980 года против сборной Кипра, в нём же и открыл счёт голам за сборную. Участвовал в олимпийском турнире 1980 года, финальных турнирах ЧМ-1982, ЧЕ-1984 и ЧМ-1990, на котором был капитаном команды. Всего за сборную провёл 70 матчей, в которых забил 25 мячей.
Имеет брата-близнеца Зорана, также профессионального футболиста, выступавшего за сборную Югославии.
Чемпион Югославии:
Обладатель Кубка Югославии:
Лучший бомбардир чемпионата Югославии:
Чемпион Франции:
Обладатель Кубка Франции: