Золтан Цибор родился в городе Капошвар в семье служащего железной дороги; у него было 6 братьев и сестёр (двое братьев играли в клубе «Комаром», а третий за «Локомотив» (Комаром). В возрасте 5 лет он начал заниматься спортом, придя в секцию прыжков в высоту. Однажды Цибор увидел молодых футболистов, игравших турнир на Кубок Капошвара. Он присоединился к ним и почти сразу обошёл игроков соперника и забил гол. За этой игрой наблюдали боссы местной команды «Комаром», где Цибор начал свою карьеру. Вскоре началась война, и Цибор ушёл на фронт. По возвращении он вновь стал играть за «Комаром», однако его основным занятием стало вождение поезда. Во время матча «Комарома» с «Дьёром» в мае 1948 года игру Цибора заметил Шандор Мецеи, тренер молодёжной сборной Венгрии, который пригласил Цибора в молодёжную национальную команду.
После нескольких игр за «молодёжку» Цибор был замечен клубом «Ференцварош». В составе «Ференцвароша» он выиграл в 1949 году чемпионат Венгрии. Затем он недолго играл за «Чепель». В 1953 году Цибор перешёл в «Гонвед», являвшийся командой, которая поддерживалась министерством обороны Венгрии и благодаря всеобщему призыву набирала футболистов со всей страны. В составе «Гонведа» Цибор провёл 175 матчей в которых забил 100 голов (из них 20 голов в чемпионате 1955 года, в котором Цибор стал лучшим бомбардиром), он дважды выигрывал с клубом чемпионат Венгрии.
В 1956 году «Гонвед» впервые участвовал в Кубке европейских чемпионов. В первом раунде турнира клуб встречался с испанским «Атлетиком». Первую игру на домашней арене «Гонвед» проиграл 2:3, а в то время, когда клуб приехал на ответный матч в Испанию, в Венгрии началась революция. Футболисты приняли решение не возвращаться в Венгрию и сыграли товарищеский матч с «Атлетиком» на стадионе «Эйзель» в Брюсселе. В этой игре голкипер «Гонведа» получил травму и продолжить матч не смог, в результате в ворота пришлось встать Цибору из-за существовавших тогда правил, запрещающих замены. Матч завершился со счётом 3:3. После этого футболисты вывезли свои семьи из Венгрии и организовали серию товарищеских матчей в Италии, Португалии, Испании, Франции и Бразилии, несмотря на протесты ФИФА и руководителей венгерского футбола. После этого несколько игроков «Гонведа» вернулись в Венгрию, а другая часть осталась в Западной Европе.
В Западной Европе Цибор начал выступления в «Роме», за которую провёл пару неофициальных игр. Однако выступлениям за «Рому» помешал запрет ФИФА, куда обратилось руководство «Гонведа», несмотря на то, что Цибор подписал контракт с римским клубом и уже поселился в квартире, предложенной «Ромой» по договору. Позже Ладислао Кубала, также беженец, пригласил Цибора и Шандора Кочиша в «Барселону». Трансфер Цибора обошёлся Барселоне в 100 тыс. долларов, также клуб оплатил все долги Цибора, долгое время не зарабатывавшего. Цибор дебютировал в составе «Барселоны» 19 марта 1958 года в товарищеском матче со швейцарским клубом «Янг Феллоуз» и забил два мяча; игра завершилась со счётом 4:4. Через несколько месяцев, 14 сентября, он дебютировал в официальном матче против «Валенсии»; игра завершилась победой «Барсы» 6:0, а Цибор забил один из мячей. За «Барселону» Цибор провёл 3 сезона и выиграл в её составе несколько испанских и европейских трофеев. Участвовал в финале Кубка чемпионов, где Барселона проиграла 2:3 «Бенфике» на стадионе «Ванкдорф», на котором в 1954 году сборная Венгрии проиграла в финале чемпионата мира.
После «Барселоны» Цибор играл за клубы «Эспаньол», «Базель», «Аустрию», «Примо Хэмилтон» и «Торонто Сити», в котором завершил футбольную карьеру.
В 1966 году Цибор развёлся с женой, которая забрала с собой детей Золтана, включая сына-инвалида, лишившегося ноги из-за пожара в лифте. В результате развода он был вынужден продать кафе «Голубой Дунай», которое купил на деньги, заработанные футболом. В 1990 году Цибор вернулся в Венгрию, там он работал президентом «Комарома» вплоть до своей кончины в 1997 году.
За сборную Венгрии Цибор играл с 1949 по 1956 год. Он провёл за национальную команду 43 матча и забил 17 голов. Цибор дебютировал в составе национальной команды 9 мая 1949 года в матче с Австрией, выигранном венграми 6:1. Цибор был частью знаменитой «Золотой команды», которая провела 32 матча подряд без поражений. В составе сборной Цибор выиграл Олимпиаду 1952, в финале которой Цибор забил второй гол в ворота сборной Югославии. Также Цибор выиграл со сборной Кубок Центральной Европы в 1953 году. Спустя год стал серебряным призёром чемпионата мира, в финале которого Цибор забил второй гол своей команды в ворота сборной ФРГ, а также забил гол и сделал две результативные передачи в полуфинале со сборной Уругвая.