Родился в семье сельских учителей. Учился живописи в Мариборе (1920—1928) и Загребе (1930—1935), затем на год уехал в Мадрид и Толедо, где изучал и копировал работы Гойи и Эль Греко. С началом гражданской войны покинул Испанию. Впервые работы Мушича, развивающие достижения балканского авангарда 1920-х годов, были выставлены в 1938 году в Любляне. В 1943—1944 годах они были показаны в Триесте и Венеции, предисловие к каталогу написал известный итальянский художник Филиппо де Пизис.
В 1944 году в Венеции Музич по подозрению в связях с партизанами был арестован гестапо, отправлен в Триест, где месяц провёл в тюрьме, подвергался пыткам. С ноября 1944 года — узник концлагеря Дахау. Из более чем двух сотен сделанных там рисунков на обрывках бумаги уцелели тридцать пять.
В 1945 году был освобождён американской армией, перевезён тяжелобольным в Люблянский госпиталь. Спасаясь от преследований коммунистического режима маршала Тито, Музич бежал в американскую зону в Гориции, затем перебрался в Венецию.
В 1948 году две картины Музича были представлены на Венецианской биеннале, в 1950 году он получил на Биеннале первую премию, с этих пор работы Музича экспонируются на крупнейших выставках в Европе и США, приобретаются музеями мира, он удостоен многих авторитетных наград. С 1953 года Музич делил жизнь между Венецией и Парижем (где первые годы работал в бывшей мастерской Хаима Сутина на Монпарнасе). В 1970—1971 годах им создан живописный цикл-воспоминание «Мы — не последние», посвящённый узникам концлагерей и ставший наиболее прославленной из его работ.
В 1990 году Музич был награждён французским орденом Почётного легиона. В 1995 году в Кане участвовал вместе с Миклошем Бокором в общей выставке «Время тьмы». В том же году на огромной ретроспективной экспозиции в парижском Гран-Пале были представлены свыше 250 работ мастера. В 2003 году его живопись и графика из собрания Патти Бёрч (США) была показана в ГМИИ имени Пушкина в Москве.
Скончался в Венеции и похоронен на кладбище острова Сан-Микеле.