Зосима Алексеевич Шашков родился 30 апреля 1905 года в деревне Новинки Сольвычегодского района Архангельской губернии в семье крестьянина.
С окончанием Приводинской церковно-приходской школы в 1918 году Шашков работал бакенщиком на Двине. В 1922 году поступил в Устюгское речное училище, окончив которое получил диплом штурмана первого разряда речного флота и был назначен на должность начальника надзора Северного бассейна.
В 1928 году вступил в ВКП(б).
В 1929 году Шашков поступил в Московский институт инженеров водного транспорта, а затем перевёлся в Ленинградский институт инженеров водного транспорта. Последний институт в 1933 году окончил с отличием. В том же году начал преподавать в Горьковском институте инженеров водного транспорта, где с 1933 по 1937 годы работал деканом факультета, а с 1937 по 1938 годы — директором института.
В 1938 году Шашков закончил аспирантуру и занимался проектированием и строительством водных каналов на реках.
В феврале 1938 года был назначен на должность заместителя наркома водного транспорта СССР
С 9 апреля 1939 по 15 марта 1946 года Шашков работал наркомом речного флота СССР.
В годы Великой Отечественной войны, являясь членом транспортного комитета при Государственном комитете обороны, Шашков руководил организацией Ладожской переправы во время блокады Ленинграда, а также снабжением по рекам войск Сталинградского фронта.
В связи с преобразованием наркоматов в министерства Зосима Шашков 19 марта 1946 года был назначен на должность Министра морского и речного флота СССР. На этой должности он проработал до 15 марта 1953 года.
С 1946 по 1950 и с 1954 по 1958 являлся депутатом Верховного Совета СССР, а с 1952 по 1961 годы — кандидатом в члены ЦК КПСС.
С 15 марта 1953 по 25 августа 1954 года Зосима Шашков возглавлял объединённое Министерство морского и речного флота СССР, с 25 августа 1954 по 31 мая 1956 года — Министерство речного флота СССР, а с мая 1956 по 1960 год — Министерство речного флота РСФСР.
С 1961 по 1963 годы работал заместителем начальника отдела транспорта и связи Государственного экономического совета Совета министров СССР, а с 1963 года — на второстепенных должностях в Госплане СССР. В 1967 году Шашков ушёл на пенсию.
Зосима Алексеевич Шашков умер 14 июля 1984 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Зосима Шашков — автор более 50 научных трудов, а также учебника для вузов «Общий курс внутреннего водного транспорта».
Кандидат технических наук, профессор.
В семье Зосимы Шашкова было шестеро братьев и две сестры.
Отец Алексей Прокофьевич Шашков работал бакенщиком в сельском хозяйстве, в последние годы жизни — шкипером на барже, умер в 1933 году. Мать — Прасковья Никифоровна Шашкова.
В 2000 году Великоустюгскому речному училищу было присвоено имя Шашкова, а 21 июня 2002 года в училище была открыта мемориальная доска.
Именем З. А. Шашкова назван пассажирский туристический теплоход (Онежское озеро).