Родился 4 января 1965 года в Москве в семье научных работников, они закончили физфак МГУ, там и познакомились, в детстве жил в коммунальной квартире в Коптельском переулке рядом с институтом Склифосовского. Отец возглавлял научное направление Института медицинского приборостроения, занимался ядерной физикой и изобрёл первый советскийтомограф. Закончил школу с золотой медалью в 1982 году.
В 1988 году закончил Московский авиационный институт с красным дипломом (квалификация по диплому — «Прикладная математика»). В студенческие годы вел активную общественную деятельность, был начальником штаба фестивалей МАИ, участвовал в КВН, получал Ленинскую стипендию.
В 1988 году стал аспирантом и преподавателем факультета прикладной математики МАИ. Защитил диссертацию кандидата физико-математических наук в 1991 году. Работал аспирантом и преподавателем до 1993 года.
С 1993 года по 1996 год работал в рекламном бизнесе, возглавив рекламную группу «Тандем». В 1996 года по 2003 год являлся президентом «Авторадио».
Под его руководством радиостанция «Авторадио» превратилась в мощную общероссийскую сеть. Варин являлся организатором фестиваля «Дискотека 80-х», который был запущен в 2002 году.
С октября 2003 года — президент «Вещательной корпорации Проф-Медиа (ВКПМ)», в которую вошли не только московские станции «Авторадио», «NRJ», «Радио Алла» и «Юмор FM», но и все их региональные филиалы.
1 сентября 2006 в России начало вещание радио «Радио ENERGY», после того, как была приобретена лицензия на право использования марки у NRJ Group. В Москве используется частота 104,2 FM.
В 2009 году совместно с совладельцем сети «Настроение» Олегом Чаминым была запущена радиостанция «Вояж FM» на частоте 96.0 FM. Таким образом, ВКПМ получила последнюю свободную частоту в радиоэфире Москвы.
Помимо работе в ВКПМ, Александр Варин с 21 ноября 2006 года стал вице-президентом по радио Национальной ассоциации телерадиовещателей (НАТ), а с 7 декабря 2007 года был выбран президентом Российской академии радио (РАР).
Фигура Александра Варина вызывала уважение и признание у руководителей конкурирующих радиохолдингов .
При непосредственном участии Александра Варина, радиостанции холдинга Проф-Медиа опекали детей-сирот, сохраняли уникальные Алтайские леса, помогали Московской службе спасения, а также принимали участие во всех проектах ГИБДД МВД России, связанных с обеспечением безопасности дорожного движения. Общенациональный резонанс получил автопробег «Владивосток-Москва» под девизом «Ради жизни!», организованный в память жертв трагедии Беслана.
Скончался 2 декабря 2009 года от инфаркта. Прощание с Александром Вариным состоялось 4 декабря в ДК МАИ, попрощаться приехали Филипп Киркоров, Олег Газманов, Александр Маршал, Юлия Ковальчук, Александр Цекало, Дмитрий Маликов, Владимир Винокур, Илья Резник, Борис Моисеев, Александр Песков.. Похоронен 5 декабря 2009 года на кладбище в Голицыно Одинцовского района Московской области, рядом с могилой отца. Отпевание состоялось в Новодевичьем монастыре.
Вдова Александра Варина работала с ним на одной кафедре, жили в браке с 1992 года, есть сын (1994).
Трёхкратный лауреат премии «Медиа-менеджер России». Обладатель Гран-при «Медиа-менеджер—2008». Член жюри Национальной премии «Радиомания» .