Доктор медицинских наук (1958), профессор (1961), действительный член АН УССР (с 1978), действительный член Академии медицинских наук Украины (с 1993 года). Герой Социалистического Труда, Герой Украины.
Был членом международного союза хирургов, Ассоциаций хирургов Австрии, Германии, России, Украины. Действительный член Академии медицинских наук Украины и Нью-Йоркской академии наук. Избирался почетным директором Института клинической и экспериментальной хирургии НАН Украины (после его смерти институту было присвоено его имя). Почётный доктор Львовского медицинского университета.
Родился в семье простых крестьян, где было 14 детей.
Окончив 5 классов школы и рабочий факультет при Кубанском медицинском институте, в 1936—1941 — учился на лечебном факультете этого вуза, по окончании которого был направлен хирургом в Читинскую область. Там Шалимов получил большой опыт в хирургии, поскольку занимался оперированием раненных.
По окончании Великой Отечественной войны стажировался в крупнейших клиниках СССР. С 1949 года работал заведующим хирургическим отделением Брянской областной больницы вместе с Н. М. Амосовым. С 1952 по 1953 годы работал ассистентом в Курском мединституте, а затем главным хирургом Брянской области.
В 1958 защитил докторскую диссертацию на тему «Хирургическое лечение рака головки поджелудочной железы и фатерова сосочка».
В 1959—1970 хирург и главный врач в больницах Харькова, доцент кафедры факультетской хирургии Харьковского мединститута, защитил докторскую диссертацию.
С 1970 в Киевском институте усовершенствования врачей, с 1972 директор Киевского научно-исследовательского института клинической и экспериментальной хирургии. Шалимов ввёл новые методы операций при заболеваниях органов пищеварения, сердца, онкологических заболеваниях, провёл около 40 тысяч операций. Александр Шалимов стал первым врачом, который провёл удачную пересадку поджелудочной железы больному диабетом, разработал и внедрил новые методы операций при онкологических заболеваниях, а также органов пищеварения, сосудов, сердца. Под руководством Шалимова была проведена первую на Украине операцию по пересадке сердца.
В 1998 году решением Международной палаты американского биографического института признан Человеком планеты.
В 2004 году был доверенным лицом кандидата на пост президента Украины Виктора Ющенко.
Автор более 830 научных работ и 112 изобретений, создал на Украине два научно-исследовательских института — в Харькове и Киеве.
Умер 28 февраля 2006 года в Киеве.
Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.