Родился в 1908 году в Санкт-Петербурге, в семье приват-доцента Петербургского университета Михаила Михайловича Исаева.
В декабре 1931 года окончил Московский горный институт. Работал в крупных проектных организациях, в том числе на Магнитогорском металлургическом комбинате.
С октября 1934 года принят конструктором бригады механизмов и шасси в ОКБ В. Ф. Болховитинова на авиационном заводе № 22, где занимался разработкой шасси дальнего бомбардировщика ДБ-А и ближнего бомбардировщика «С».
С 1939 года в роли ведущего конструктора опытного самолёта «И».
С июля 1940 года КБ В. Ф. Болховитинова приступило к разработке ближнего истребителя «БИ-1» — первого в СССР полноценного самолёта с жидкостным ракетным двигателем, на котором 15 мая 1942 года летчик Г.Я. Бахчиванджи совершил первый полёт. А. М. Исаев сначала работал над доводкой существующего двигателя самолёта (предоставленного НИИ-3), позднее — над созданием нового двигателя РД-1 для этого самолёта.
В 1944 году назначен главным конструктором КБ.
В период с 3 июля по 8 сентября 1945 года находился в Германии в составе группы специалистов, изучавших немецкую ракетную технику.
В 1946 году по идее А.М. Исаева в его КБ была испытана цельносварная камера сгорания ЖРД, обеспечившая значительно более надёжную работу двигателя, чем применявшееся ранее камеры.
В 1947 году в НИИ-1 МАП создается ОКБ-2 под руководством А.М. Исаева, которое участвует в работах по ракетной технике. В мае 1948 года оно передается в НИИ-88 Министерства вооружения, где преобразуется в отдел № 9 Специального конструкторского бюро.
В этот период ОКБ Исаева отработало двигатель У-2000 для ракеты класса «земля-воздух» и двигатель У-400-2 для крылатой ракеты класса «воздух-море». При разработке двигателя тягой 8 тс для ракеты «205» С.А. Лавочкина разработчики столкнулись необъяснимыми тогда явлениями: ЖРД взрывался на стенде на первых секундах работы. Гораздо позже выяснилось, что виной тому — высокочастотные колебания. А пока Исаев предложил двигатель-связку из четырех камер тягой по 2 тс. В дальнейшем, в первой половине 1950-х, проблему восьмитонника удалось решить установкой антипульсионных перегородок. В дальнейшем такой метод подавления пульсаций широко применялся в практике двигателестроения.
В 1952 году на базе отдела №9 образуется ОКБ-2 НИИ-88. Успехи Исаева вызвали заинтересованность С.П. Королёва, который применяет восьмитонный двигатель Исаева на высококипящих компонентах в своей ракете малой дальности Р-11 и её флотской модификации Р-11ФМ. Это положило основу дальнейшего использования ЖРД КБ Исаева на флотских ракетах, даже после передачи этой тематики от Королёва в СКБ-385 В.П. Макеева.
C 1954 года разрабатываются новые ЖРД с ТНА для второй ступени ракет ЗРК С-75 и четырехкамерный ЖРД для ускорителей межконтинентальной крылатой ракеты «Буря».
В декабре 1958 году ОКБ-2 А.М. Исаева и ОКБ-3 Д.Д. Севрука объединились в ОКБ-2 НИИ-88 под руководством А.М. Исаева, которое в январе 1959 года по приказу Государственного комитета по оборонной технике выделилось из НИИ-88.
ОКБ разрабатывает тормозную двигательную установку (ТДУ) для будущего космического корабля «Восток», которая в дальнейшем применяется и на «Восходе» и спутниках фоторазведки «Зенит-2».
Для последующих советских управляемых кораблей КБ Исаева разрабатывало уже КТДУ — корректирующие и тормозные двигательные установки, которые используются во всех космических кораблях серии «Союз». Кроме того, КТДУ КБ Исаева используются на всех советских и российских орбитальных станций серии «Салют», «Мир» и, частично, на МКС, в непилотируемых спутниках («Молния», «Космос») и межпланетных космических аппаратах «Луна», «Марс», «Венера», «Зонд».
По программе Н1-Л3 для полета человека на Луну были разработаны КТДУ для лунного орбитального корабля (ЛОК) и первый в СССР кислородно-водородный ЖРД.
С 1967 года ОКБ-2 переименовано в Конструкторское бюро химического машиностроения (КБХМ).
А.М.Исаев скоропостижно скончался 25 июня 1971 года.