Родился 17 (30) марта 1914 года в селе Рыбное ныне город Рязанской области. В 1933 году окончил 9 классов школы в Рязани. Работал помощником машиниста паровоза, заведующим клубом в селе Мервино (ныне — в черте Рязани).
В армии с декабря 1936 года. В 1937 году окончил Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков и лётчиков-наблюдателей. Служил штурманом в АОН-2, в Орловском военном округе.
Участник боевых действий в Китае в августе 1939 — январе 1940. Совершил несколько боевых вылетов на бомбардировщике ДБ-3А в составе авиаэскадрильи под командованием Н. А. Козлова.
Участник Великой Отечественной войны:
К августу 1944 года совершил 218 боевых вылетов на бомбардировщиках ДБ-3 и Ил-4.
За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года гвардии майору Алексееву Николаю Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4066).
Поле войны продолжал службу в Дальней авиации. В 1947 году окончил Высшие курсы усовершенствования штурманов при 2-й Ивановской высшей авиационной офицерской школе Дальней авиации. С 1953 года — штурман-инспектор в Главном Штабе ВВС. С мая 1961 года полковник Н. А. Алексеев в запасе.
Жил в Москве. Умер 28 сентября 1977 года. Похоронен на Кузьминском кладбище в Москве.